В сезонах 2021/22 и 2022/23 он выступал за нижнекамский "Нефтехимик". Прошлым летом игрок пополнил ряды московского "Торпедо", за которое выходил в 23-х матчах и отличился двумя забитыми мячами.
Москвичев является воспитанником московского "Динамо". Опорный полузащитник прошёл все стадии юношеского и молодёжного футбола бело-голубых, а дебютировал за главную команду 26 сентября 2018 года в матче 1/16 финала Кубка России против московского "Торпедо". В Премьер-лиге на счету Москвичева значатся семь матчей в составе "Динамо".